Математические основы теории систем

Задание1: По заданной корреляционной функции Kx() определить спектральную плотность Sx() для белого шума, который подается на вход формирующего фильтра.

Задание2: По заданным статистическим характеристикам Se,Sv определить передаточную функцию формирующего фильтра (р)

Задание3: Представить объект управления в виде

V(t) X(t) Y(t)

и оценить качество полученной системы по переходной характеристике.

Задание4: Сделать вывод по работе.

I-часть

Данные
R1
R2
R3
R4
L1
L2
C2
I2
Ом
Гн.
10-6Ф
?
328
395
118
215
24
24
19605
L1 e(t) L2
Построить математическую модель объекта управления в пространстве состояния.
В схеме три элемента, запасающих энергию: , следовательно, математическая модель должна быть третьего порядка.
2. Построение математической модели.
Задаемся направлением контурных токов . Составляем три уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров:
(1)
(2)
(3)
В уравнении (3) есть интеграл, поэтому дифференцируем его:
(3*)
В уравнениях (3*), (2), (3) есть производные, в качестве выбираем элементы с производными и производные берем на порядок ниже:
(4)
(5)
(6)
Запишем введенный вектор состояния в виде дифференциальных уравнений первого порядка.
Уравнение в пространстве состояний записывается в левой части:
В полученных уравнениях имеется шесть переменных . Необходимо уйти от , выразив их через
Из выражения (1) выразим :
Получили три дифференциальных уравнения и одно уравнение для выходного параметра.
Запишем полученную систему уравнений в матричном виде:
Получим матричное уравнение для выходной переменной:
Построение сигнального графа.
Перепишем уравнения в общем, виде для построения графа системы:
Построение графа произведем в два шага:
Шаг 1. Ставим точки входа, выхода системы и векторы параметров
Шаг 2. Соединяем все параметры связями согласно системе уравнений.
Построим структурную схему.
e X 3 X 3 X 2 X 2 i2
X 1 X 1
Нахождение передаточной функции по формуле Мейсона.
k-количество возможных путей от входа к выходу
-определитель графа
Pk-коэффициент передачи k пути от входа к выходу
-определитель всех касающихся контуров при удалении k-ого пути
=1-(сумма коэффициентов передачи всех отдельных контуров)+(сумма всевозможных произведений из двух некасающихся контуров) - (сумма всевозможных комбинаций из трех некасающихся контуров)+…+…
Последовательность нахождения w(p) по формуле Мейсона:
В данном случае есть 1 путь от входа к выходу:
В системе имеется 4 замкнутых контуров:
Определитель системы включает 4 контура и 2 пары некасающихся контуров L1,L2; L1,L4
Количество сомножителей равно количеству прямых путей. Выражение для записывается как выражение для , но разрываются контуры, через которые проходит прямой путь Pi.
Сомножитель для первого пути. При размыкании первого пути 2 контура размыкаются, кроме L2,L4
Запишем и преобразуем выражение передаточной функции:
Найдем переходную функцию и построим ее график:

Найдем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ):
Найдем фаза частотную характеристику (ФЧХ):
Определим оценки качества системы: прямые и косвенные.
Прямые оценки определяются графически по графику переходного процесса.

Время переходного процесса: tn=11
Перерегулирование:

Колебательность: п=0,5
Время нарастания регулируемой величины: t=0,385
Время первого согласования: tm=0,66
Косвенные оценки качества системы определяются по графику АЧХ.
Колебательность:
Резонансная частота: p=0,83
Частота среза: сp=10
Полоса пропускания частот:
II-часть

По данной корреляционной функции определим спектральную плотность:

Найдем корни характеристических уравнений передаточной функции фильтра:

Изобразим эти корни на комплекснрй плоскости:

Система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат во 2-ом квадранте, следовательно, условию устойчивости системы соответствуют корни:

P7= -0,583+7,05i

P9= - 0,550+9,98i

P10= -0,570

Из этого следует, что передаточная функция фильтра будет иметь

следующий вид:

С учетом фильтра наша схема будет иметь следующий вид:

Найдем переходную функцию данной системы, построим ее график и определим прямые оценки качества системы.

Вывод: По графику видно, что фильтр вносит в систему изменения, приводящие к неустойчивости системы. Вследствие чего оценки качества системы определить нельзя.