Расчет переходных процессов в дискретных системах управления

Определим переходную функцию дискретной системы. Дискретное преобразование единичного воздействия x(t) = 1 (t) равно x(z) = z/(z-1).
Переходную функцию определим из соотношений
(3)
Получили выражение для расчета переходной функции дискретной системы.
Определим функцию веса дискретной системы. Дискретное изображение единичного импульса x(t) = (t) равно x(z) = 1.
Весовую функцию определим из соотношений
(4)
Получили выражение для расчета функции веса дискретной системы.
Установившееся значение временных характеристик можно определить с помощью теоремы о конечном значении дискретной функции.
Для переходной функции
. (5)
Для весовой функции
(6)
Определим связь между переходной функцией и функцией веса дискретной системы. Для области z можно записать следующие соотношения
Откуда
(7)
Как следует из выражения (7) функция веса в каждый дискретный момент времени может быть определена как разность между текущим и предыдущим значением переходной функции
Пример 1. Для заданной системы (рис. 2.) рассчитать переходный процесс, если x(t) = 1 (t).

Рис. 2
Решение
Выходной дискретный сигнал равен:
При этом
Если x(t) = 1 (t) то . Для
Подставим x(z) и K (z,) в выражение для выходного дискретного сигнала
Определим значения полюсов - zk их число - n и кратность - m: z1 = 1; n = 1; m = 2.
Выражение для переходного процесса имеет вид:
Пример 2. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 3.), если x(t) = 1 (t).
Решение:
Выходной дискретный сигнал равен:
При этом
.
Если x(t) = 1 (t), то .
Для
Подставим x(z) и K (z,) в выражение для выходного дискретного сигнала
Выражение для переходного процесса имеет вид:
Пример 3. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 4), если x(t) = 1 (t).

Рис. 4
Решение:
Выходной дискретный сигнал равен:
При этом
Если x(t) = 1 (t), то .
Если , то , где
Подставим x(z) и K (z,) в выражение для выходного дискретного сигнала
Определим значения полюсов - zk их число - n и кратность - m:
z1 = 1; z2 = d; n = 2; m = 1.
Выражение для переходного процесса имеет вид:
Пример 4. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 5), если x(t) = 1 (t).

Рис. 5
Решение:
Выходной дискретный сигнал равен:
При этом
Если x(t) = 1 (t), то .
Передаточная функция соединения равна:
Дискретная передаточная функция соединения равна:
Подставим x(z) и K (z,) в выражение для выходного дискретного сигнала
Определим значения полюсов - zk их число - n и кратность - m: z1 = 1; n = 1; m = 2.
Выражение для переходного процесса имеет вид:
Пример 5. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 6), если x(t) = 1 (t).

Рис. 6
Решение:
Определим передаточную функцию разомкнутой непрерывной части:
Выполним дискретное преобразование:
Передаточная функция замкнутой дискретной системы:
Подставим x(z) и Kз(z,) в выражение для выходного дискретного сигнала
Определим значения полюсов - zk их число - n и кратность - m:
z1 = 1, z2 = 1 - kv T = A, n = 2, m = 1.
Выражение для переходной функции имеет вид:
Пример. Для заданной системы (рис. 7) рассчитать переходный процесс, если x(t) = 1 (t), а алгоритм функционирования цифровой части описывается уравнением:
X Y

Рис. 7

Решение: Исходную схему можно представить в виде (рис. 8)

Рис. 8
Определим передаточную функцию разомкнутой непрерывной части

Выполним дискретное преобразование

Определим передаточную функцию цифрового автомата, в соответствии с алгоритмом его функционирования

Определим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:

Передаточная функция замкнутой дискретной системы:

где s1, s2 корни характеристического уравнения

при этом s1+ s2 = 1+a+kv T; s1 s2 = a.

Подставим x(z) и Kз(z,) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов - zk их число - n и кратность - m

z1=1, z2=s1, z3=s2, n=2, m=1.

Выражение для переходной функции имеет вид:

Литература

Бронштейн И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. - М.: Наука, 1989

Васильев В.И., Ильясов Б.Г. Интеллектуальные системы управления: Теория и практика: Учеб. пособие для вузов. Издательство: Радиотехника, 2009. - 392 с.

Голенцев Э., Клименко С.В. Информационное обеспечение систем управления. ФЕНИКС, 2002. - 350 с.

Долятовская В.Н., Долятовский В.А. Исследование систем управления, 2004. - 255 с.