Расчёт электрических фильтров по рабочим параметрам

В современных системах связи широко применяются электрические фильтры: LC-фильтры, активные RC-фильтры, пьезоэлектрические, пьезокерамические, магнитострикционные, электромеханические, волноводные, цифровые фильтры и др. Причем, LC-фильтры занимают особое положение в силу ряда причин. Во-первых, эти фильтры широко применяются в различных частотных диапазонах. Во-вторых, для LC-фильтров существует хорошо разработанная методика расчета, и синтез большинства перечисленных выше фильтров во многом использует эту методику.

Задачей синтеза электрического фильтра является определение схемы фильтра, содержащей минимально возможное число элементов, которая удовлетворяла бы техническим требованиям.

В настоящее время используются две принципиально отличные методики расчета фильтров:

а) расчет по характеристическим параметрам,

б) расчет по рабочим параметрам (по рабочему ослаблению или рабочей фазовой постоянной).

Метод синтеза по рабочим параметрам позволяет получить электрический фильтр с меньшим числом элементов, чем расчет характеристическим параметрам. Кроме того, метод расчета по рабочим параметрам является единственно возможным для RC-фильтров и, следовательно, является более общим методом. Следует отметить, что расчет по рабочим параметрам требует большей точности вычислений, что вызывает необходимость применения ЭВМ.

Выбор варианта

В соответствии с номером варианта (№188), требуется рассчитать фильтр нижних частот (ФНЧ), удовлетворяющего следующим техническим требованиям:

· Граничные частоты полосы пропускания (ПП) f2 =21500 Гц;

· Граничная частота полосы непропускания (ПН) f3 = 35200 Гц;

· Максимально допустимое значение рабочего ослабления в ПП ДА=0.9

· Минимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПН A min =24 дБ;

· Сопротивление нагрузки (справа) RH = R2 =1200 Ом;

· Тип аппроксимации - по Чебышеву;

· Метод реализации - по Дарлингтону.

Постановка задачи синтеза электрического фильтра

Синтез электрического фильтра по рабочему ослаблению состоит из двух этапов: аппроксимации и реализации.

На этапе аппроксимации необходимо получить аналитическое выражение рабочей передаточной функции Т(р) фильтра, удовлетворяющей условиям физической реализуемости по заданным требованиям.

На этапе реализации по найденной рабочей передаточной функции определяется схема фильтра и величины составляющих её элементов.

В синтезе фильтров используется преобразование частоты и нормирование сопротивлений и частот.

Использование преобразования частоты позволяет свести расчёт всех классов фильтров к расчёту ФНЧ и производить синтез любого фильтра в следующем порядке: сначала преобразовать заданную характеристику рабочего ослабления в низкочастотную, потом синтезировать ФНЧ, далее обратным частотным преобразованием перейти от элементов схемы ФНЧ к элементам заданного фильтра.

Нормирование заключается в том, что вместо абсолютных значений частот и сопротивлений элементов цепи ФНЧ берутся их относительные величины.

В данной курсовой работе требуется выполнить синтез электрического фильтра. Синтез фильтра производится в следующем порядке:

1. Нормирование частот;

2. Аппроксимация рабочей передаточной функции и характеристики рабочего ослабления фильтра ;

3. Реализация схемы ФНЧ;

4. Денормирование элементов схемы ФНЧ;

5. Расчет и построение денормированных частотных характеристик рабочего ослабления и рабочей фазы фильтра.

6. Расчет спектра последовательности прямоугольных импульсов на входе фильтра (не менее 10 гармоник). Параметры последовательности импульсов следующие: амплитуда - U=1В, скважность - , частота следования импульсов -.

7. Расчёт спектра последовательности прямоугольных импульсов на выходе фильтра через полученный коэффициент передачи (10 гармоник).

8. Построение последовательности импульсов на выходе в виде суммы рассчитанных гармоник.

9. Расчёт переходной характеристики фильтра .

10. Построение импульса на выходе фильтра.

1. Нормирование по частоте

Нормирование производим относительно граничной частоты полосы пропускания , .

Соответственно , , и .

Рис. 1. Характеристика технических требований ФНЧ.

2. Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления фильтра

В качестве аппроксимирующих удобно использовать полиномиальные функции, среди которых наиболее широкое применение имеют полиномы Баттерворта и Чебышева.

При выборе полинома Чебышева в качестве аппроксимирующего функция фильтрации определяется выражением:

, где .

- коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе пропускания.

Рабочее ослабление определяется как:

- полином Чебышева, определяемый рекуррентной формулой

n- порядок фильтра:

Округляя в большую сторону, возьмем , тогда

Аппроксимация по Чебышеву получила название равноволновой.

Сформируем рабочую передаточную функцию:

С другой стороны модуль рабочей передаточной функции можно представить как:

Таким образом:

,т.е. ,

- полином Гурвица.

Решая уравнение , определим корни полинома Гурвица:

, .

Имеем:

Рис. 2 Изображение корней уравнения на комплексной плоскости

Формируем рабочую операторную передаточную функцию :

Подставляя , определим рабочее ослабление как:

Выполним проверку функции на частотах: , , .

, , .

Аппроксимированное рабочее ослабление удовлетворяет техническим требованиям.

Рисунок 3. - График рабочего ослабления ФНЧ

3. Реализация схемы фильтра ФНЧ по Дарлингтону

На данном этапе по найденной ранее функции Т(р) необходимо получить схему ФНЧ .

Реализация по Дарлингтону основана на формировании функции по . Тогда получение схемы нагруженного фильтра можно свести к реализации двухполюсника путем разложения функции Zвх(р) в цепную дробь (по Кауэру).

где - коэффициент отражения

При аппроксимации по Чебышеву имеем:

где

определяется по рекуррентной формуле заменой , при этом все слагаемые берутся со знаком «+».

Составим Zвх(р), выбирая знак “ - “ у функции с(р):

Разложим в цепную дробь по Кауэру:

Нормированное значение входного сопротивления в этом случае выражено в виде цепной дроби:

Нормированные значения ёмкостей и индуктивностей будут равны:

, , , , , .

Схема фильтра начинается с последовательно включенного элемента.

Схема. 1 Нормированная схема ФНЧ

Если выбрать знак “ + “ у функции с(р), то получим дуальную схему фильтра:

Нормированные значения ёмкостей и индуктивностей будут равны:

, , , , , .

Схема фильтра начинается с параллельно включенного элемента.

Схема. 2 Дуальная нормированная схема ФНЧ

В дальнейшем выбираем схему с меньшим числом индуктивностей (в нашем случае это схема с источником напряжения).

4. Денормирование и расчёт элементов схемы заданного фильтра

Для перехода от нормированной схемы к денормированной схеме с заданными нагрузочным сопротивлением R2 и граничной частотой f2 для ФНЧ осуществляется изменение уровня сопротивления и масштаба частоты с помощью следующих множителей:

а) преобразующий множитель сопротивления:

где R2 -- нагрузочное сопротивление;

r2 -- нормированное нагрузочное сопротивление;

б) преобразующий множитель частоты:

Тогда коэффициенты денормирования индуктивности и ёмкости определятся по формулам:

, ,

и денормированные значения элементов схемы - с помощью:

, ,

, .

5. Расчёт частотных характеристик фильтра

С помощью расчёта частотных характеристик фильтра проверяется соответствие фильтра техническим требованиям:

1. Рабочее ослабление в ПП не должно превышать заданной величины :

2. Рабочее ослабление в ПН не должно быть ниже заданного значения :

3. Рабочая фаза B(f) позволяет судить о выполнении требований к её линейности в пределах ПП.

Выполним расчёт частотных характеристик A(f) и B(f) по аппроксимированной функции T(p). Построим графики А(f) и B(f) ФНЧ.

;

Рис. 4. Зависимость рабочего ослабления ФНЧ от частоты в ПП.

(, ), (), .

Рис. 5. Зависимость рабочей фазы ФНЧ от частоты.

Проверка технических требований по графикам зависимостей рабочего ослабления и рабочей фазы подтверждает соответствие аппроксимированной передаточной функции Т(р) техническому заданию. Это свидетельствует о правильности выполнения этапа аппроксимации.

6. Расчёт характеристик фильтра на ЭВМ

Наиболее полной проверкой правильности расчета спроектированного фильтра является расчет частотных зависимостей А(f) и В(f) по передаточной функции Т(j), выраженной через элементы фильтра. Фильтр представляет собой реактивный четырехполюсник лестничной структуры. С учетом источника сигнала с внутренним сопротивлением R1 и сопротивления нагрузки R2 полная схема имеет вид, представленный на рис.11.

Рис. 6. Представление фильтра в виде четырёхполюсника с лестничной структурой.

1. Расчёт частотных характеристик фильтра

Рабочая передаточная функция такой схемы может быть определена следующим образом:

, ,

где

Или

где - комплексная частота.

Для спроектированного ФНЧ континуант имеет вид:

Рабочее ослабление и рабочая фаза фильтра рассчитываются по формулам:

, .

Построим графики зависимости рабочего ослабления от частоты и зависимости рабочей фазы от частоты.

Рис. 7. Зависимость рабочего ослабления от частоты и в ПП.

(, ), (), .

Рис. 8. Зависимость рабочей фазы от частоты в ПП.

Построенные графики подтверждают то, что спроектированный ФНЧ Чебышева удовлетворяет техническим требованиям, так как рабочее ослабление в ПП не превышает , а в ПН больше минимально допустимого значения ; рабочая фаза возрастает с увеличением частоты в ПП по нелинейному закону, причиной которого являются фазо-частотные искажения, возникающие в электрической цепи, содержащей реактивные элементы.

2. Расчёт временных характеристик фильтра

Рассчитаем спектр последовательности импульсов на входе фильтра.

Рис. 14. Последовательность импульсов на входе фильтра

- амплитуда импульсов;

- частота следования импульсов;

- скважность импульсов;

- длительность импульса.

Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов вычислим по формуле:

Построим амплитудный спектр прямоугольных импульсов на входе фильтра.

Рис. 8. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных импульсов.

Фазовый спектр последовательности прямоугольных импульсов при выборе начала координат в середине импульса вычислим по формуле:

Построим фазовый спектр ППИ на входе фильтра.

Рис. 9. Фазовый спектр последовательности прямоугольных импульсов.

Амплитудный спектр сигнала на выходе фильтра вычислим по формуле:

Построим амплитудный спектр сигнала на выходе фильтра.

Рис. 10. Амплитудный спектр на выходе фильтра.

Фазовый спектр сигнала на выходе фильтра вычислим по формуле:

Построим фазовый спектр сигнала на выходе фильтра.

Рис. 11. Фазовый спектр сигнала на выходе фильтра.

Напряжение сигнала на входе фильтра вычислим по формуле:

Напряжение сигнала на выходе фильтра вычислим по формуле:

где - постоянная составляющая.

Построим графики напряжений сигнала на входе и выходе фильтра.

Рис. 12. Графики напряжений на входе фильтра U1(t) и на выходе U2(t).

Рассчитаем переходную характеристику

Для вычисления переходной характеристики используем обратное преобразование Лапласа выражения

Построим график переходной характеристики по напряжению.

Рис. 13. Переходная характеристика по напряжению.

Выполним расчёт отклика фильтра U(t) на воздействие в виде прямоугольного импульса.

Используя интеграл Дюамеля, выполним расчёт отклика фильтра U(t) на воздействие в виде прямоугольного импульса с амплитудой 1В и длительностью импульса

Построим график расчёта отклика фильтра U(t) на воздействие в виде прямоугольного импульса.

Рис. 14. Расчёт отклика фильтра U(t) на воздействие в виде прямоугольного импульса.

Из графика (рис. 14.) видно, что отклик фильтра на последовательность прямоугольных импульсов U(t) носит затухающий характер, а для одиночного прямоугольного импульса U2(t-tu/2) - отклик описывает гармонические колебания равной амплитуды, имеющей небольшие искажения.

Вывод

В данной курсовой работе был произведён синтез фильтра нижних частот, используя при этом аппроксимацию по Чебышеву и метод реализации схемы фильтра по Дарлингтону. На этапе аппроксимации был построен график зависимости рабочего ослабления от частоты. Из этого графика делаем вывод, что спроектированный фильтр удовлетворяет техническим требованиям, так как в ПП рабочее ослабление не превышает , а в ПН превышает минимально допустимое значение рабочего ослабления.

При аналитическом расчёте частотных характеристик фильтра был построен график зависимости рабочей фазы от частоты в ПП. Рабочая фаза с увеличением частоты монотонно возрастает по нелинейному закону, причиной которого являются фазо-частотные искажения, возникающие в электрической цепи, содержащей реактивные элементы.

На ЭВМ были получены переходная характеристика, спектры сигналов на входе и выходе фильтра и реакция фильтра на последовательность прямоугольных импульсов.

Список литературы

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей, 2000 г.

2. Попов П.А. Ускоренный синтез симметричного реактивного четырехполюсника, 1974 г.

3. Ханзел Г. Справочник по расчету фильтров, 1974 г.

4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи, 1999 г.

5. Соколов В.Ф., Клиентова Т.Г., Членова Е.Д. Расчет фильтров по рабочим параметрам. Методическая разработка к курсовой работе, 1992 г.

Оглавление

1. Задание к курсовой работе
2. Постановка задачи синтеза электрического фильтра
3. Переход к ФНЧ - прототипу и нормирование по частоте
4. Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления фильтра
5. Реализация схемы фильтра ФНЧ
6. Переход от схемы ФНЧ-прототипа к нормированной схеме заданного фильтра
7. Денормирование и расчёт элементов схемы фильтра
8. Расчёт частотных характеристик фильтра
9. Расчёт частотных характеристик фильтра на ЭВМ11
10. Расчет спектра последовательности прямоугольных импульсов на входе и на выходе фильтра
11. Расчет переходной характеристики фильтра h(t)
Вывод
Список литературы

1. Задание к курсовой работе

Согласно варианту требуется рассчитать фильтр верхних частот (ФВЧ), удовлетворяющий следующим техническим требованиям:

граничная частота полосы пропускания (ПП) Гц;

граничная частота полосы непропускания (ПН) Гц;

максимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПП (дБ);

минимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПН (дБ);

сопротивление нагрузки (Ом).

Аппроксимацию требуется выполнить по Чебышеву, а реализацию - по Дарлингтону.

2. Постановка задачи синтеза электрического фильтра

Синтез электрического фильтра по рабочим параметрам (рабочему ослаблению или рабочей фазовой постоянной) состоит из двух этапов: аппроксимации и реализации.

На этапе реализации по найденной рабочей передаточной функции определяется схема фильтра и величины составляющих ее элементов.

В синтезе фильтров используется преобразование частоты и нормирование сопротивлений и частот.

Использование преобразования частоты позволяет свести расчет всех классов фильтров к расчету фильтра нижних частот (ФНЧ) и производить синтез любого фильтра в следующем порядке: сначала преобразовать заданную характеристику рабочего ослабления в низкочастотную, потом синтезировать ФНЧ, далее обратным частотным преобразованием перейти от элементов схемы ФНЧ к элементам (или комбинациям элементов) заданного фильтра.

Нормирование заключается в том, что вместо абсолютных значений частот и сопротивлений элементов цепи ФНЧ берутся их относительные величины. Нормирование осуществляется по отношению к нагрузочному сопротивлению и граничной частоте полосы пропускания для ФНЧ и ФВЧ (или среднегеометрической частоте полосы пропускания для ПФ).

Техническими требованиями к фильтру являются:

граничные частоты полосы пропускания (ПП) или , ;

граничные частоты полосы непропускания (ПН) или , ;

максимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПП ДА (дБ) или коэффициент отражения , которые связаны соотношением:

минимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПН (дБ);

сопротивление нагрузки (Ом).

Синтез фильтра производится в следующем порядке:

Переход к ФНЧ-прототипу и нормирование частот;

Аппроксимация рабочей передаточной функции Т(р) и характеристики рабочего ослабления фильтра ;

Реализация схемы ФНЧ (ФНЧ-прототипа);

Переход от схемы ФНЧ к схеме заданного фильтра и денормирование ее элементов;

Расчет и построение денормированных частотных характеристик рабочего ослабления А(f) и рабочей фазы В(f) фильтра.

3. Переход к ФНЧ - прототипу и нормирование по частоте

Рис. 1 Частотные характеристики ФВЧ и ФНЧП

При расчете ФВЧ переходим к требованиям для ФНЧ - прототипа. Частотная характеристика ФВЧ переходит в частотную характеристику ФНЧ - прототипа при использовании преобразования частоты вида:

, , , .

, , , - нормированные граничные частоты ФНЧП.

, , ,

4. Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления фильтра

На данном этапе по заданным техническим требованиям к ФНЧ - прототипу необходимо получить математические выражения рабочей передаточной функции Т(р) и рабочего ослабления фильтра А(). Известно, что частотное свойство фильтров определяется функцией фильтрации ц.

Следовательно, задача сводится к выбору аналитического выражения этой функции и расчету ее коэффициентов. В качестве аппроксимирующих удобно использовать полиномиальные функции, среди которых наибольшее распространение имеют полиномы Баттерворта и Чебышева.

При выборе полинома Чебышева в качестве аппроксимирующего функция фильтрации определяется выражением:

, где .

- коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе пропускания.

Рабочее ослабление определяется как: . - полином Чебышева, определяемый рекуррентной формулой , n- порядок фильтра:

Итак, . Округляя в большую сторону, возьмем , тогда .

Аппроксимация по Чебышеву получила название равноволновой.

Сформируем рабочую передаточную функцию:

С другой стороны модуль рабочей передаточной функции можно представить как:

Таким образом:

,т.е. ,

- полином Гурвица.

Решая уравнение

определим корни полинома Гурвица:

, .

Имеем:

Рис. 2 Изображение корней уравнения на комплексной плоскости

Формируем рабочую операторную передаточную функцию :

Подставляя , определим рабочее ослабление как:

Выполним проверку функции на частотах: , , .

, , .

Аппроксимированное рабочее ослабление удовлетворяет техническим требованиям.

5. Реализация схемы фильтра ФНЧ

На данном этапе по найденной ранее функции Т(р) необходимо получить схему ФНЧ.

где - коэффициент отражения

При аппроксимации по Чебышеву имеем:

где

определяется по рекуррентной формуле заменой , при этом все слагаемые берутся со знаком «+».

Составим Zвх(р), выбирая знак “ - “ у функции с(р):

Разложив в цепную дробь по Кауэру, выразим нормированное значение входного сопротивления в виде цепной дроби:

Нормированные значения ёмкостей и индуктивностей будут равны:

, , , , , .

Схема фильтра начинается с последовательно включенного элемента.

Схема. 1 Нормированная схема ФНЧ-прототипа

Если выбрать знак “ + “ у функции с(р), то получим дуальную схему фильтра:

Нормированные значения ёмкостей и индуктивностей будут равны:

, , , , , .

Схема фильтра начинается с параллельно включенного элемента.

Схема. 2 Дуальная нормированная схема ФНЧ-прототипа

Выбираем схему с меньшим числом ёмкостей, потому что при денормировке они перейдут в индуктивности (в нашем случае это схема с источником напряжения).

6. Переход от схемы ФНЧ-прототипа к нормированной схеме заданного фильтра

Осуществим переход от нормированной схемы ФНЧ-прототипа к схеме ФВЧ по таблице 1, согласно которой нормированные элементы схемы ФНЧ-прототипа заменяются на нормированные элементы схемы ФВЧ.

Таблица 1

Нормированный элемент ФНЧП	Преобразуется в элемент требуемого фильтра

, , , ,

7. Денормирование и расчёт элементов схемы фильтра

Для перехода от нормированной схемы к денормированной схеме с заданными нагрузочным сопротивлением и граничной частотой осуществляем изменение уровня сопротивления и масштаба частоты с помощью следующих множителей:

а) преобразующий множитель сопротивления:

б) преобразующий множитель частоты

Коэффициенты денормирования индуктивности и емкости определяем по формуле:

, .

Таким образом, истинные значения элементов фильтра можно определить как:

, , , , , , .

Окончательно получим схему:

Схема. 3 Денормированная схема фильтра верхних частот пятого порядка

8. Расчёт частотных характеристик фильтра

4. Рабочее ослабление в ПП не должно превышать заданной величины :

5. Рабочее ослабление в ПН не должно быть ниже заданного значения :

6. Рабочая фаза B(f) позволяет судить о выполнении требований к её линейности в пределах ПП.

Выполним расчёт частотных характеристик A(f) и B(f) по аппроксимированной функции T(p). Построим графики А(f) и B(f) ФВЧ.

Рис. 3 График зависимости рабочего ослабления ФВЧ

(),().

Рис. 4 График зависимости рабочей фазы B(f) ФВЧ в ПП

, .

Проверка технических требований по графикам зависимостей рабочего ослабления и рабочей фазы. подтверждает соответствие аппроксимированной передаточной функции Т(р) техническому заданию. Это свидетельствует о правильности выполнения этапа аппроксимации.

9. Расчёт частотных характеристик фильтра на ЭВМ

После выполнения синтеза электрического фильтра важно убедиться в его соответствии техническим требованиям. Наиболее полной проверкой правильности расчета спроектированного фильтра является расчет частотных зависимостей и по передаточной функции Tp(j), выраженной через элементы фильтра.

Фильтр представляет собой реактивный четырехполюсник лестничной структуры. С учетом источника сигнала с внутренним сопротивлением R1 и сопротивления нагрузки R2

Рассчитаем и и сделаем проверку элементов схемы фильтра.

Рабочая передаточная функция такой схемы может быть определена следующим образом:

где - комплексная частота.

, , .

Представим графики зависимости рабочего ослабления и рабочей фазы .

Рис. 5 Частотная зависимость рабочего ослабления

(),()

Рис. 4 График зависимости рабочей фазы B(f) ФВЧ в ПП

, .

По графикам видно, что фильтр полностью удовлетворяет всем техническим требованиям, значит значения элементов схемы фильтра вычислены верно.

10. Расчет спектра последовательности прямоугольных импульсов на входе и на выходе фильтра

Рассчитаем спектр последовательности прямоугольных импульсов на входе фильтра с параметрами: , скважность , частота следования импульсов по формуле

, .

Вычислив, получим:

Рис. 5 Спектр последовательности прямоугольных импульсов на входе фильтра

Спектр фаз последовательности на входе при выборе начала координат в середине импульса определяется выражением:

;

Рис. 6 Спектр фаз последовательности на входе

Выходные спектры амплитуд и фаз определяются выражениями:

, , .

Рис. 7 Спектр амплитуд последовательности на выходе

Рис.8 Спектр фаз последовательности на выходе

Сигнал на входе ФВЧ рассчитывается по формуле:

а на выходе по формуле

, .

Рис. 9 Графики напряжения на входе и на выходе фильтра

11. Расчет переходной характеристики фильтра h(t)

Для вычисления переходной характеристики используем следующее выражение:

Рис.10 График переходной характеристики h(t)

Используя переходную характеристику, можно выполнить расчет отклика ФВЧ на прямоугольный импульс с амплитудой 1В и длительностью

Рис.11 Импульс на выходе фильтра , построенный с помощью , в сравнении с выходным импульсом

Вывод

В данной работе произведен синтез электрического фильтра в два этапа: аппроксимация и реализация. На первом этапе были получены математические выражения рабочей передаточной функции Т и рабочего ослабления A, удовлетворяющие условиям технической реализуемости. На втором этапе по найденной рабочей передаточной функции Т определили схему фильтра и величины составляющих её элементов.

Произведен расчёт и построение частотных характеристик фильтра, подтвердивших соответствие аппроксимированной функции Т техническому заданию

Были построены частотные зависимости, подтвердившие высокую точность фильтра.

Список литературы

1. Конспект лекций по ОТЦ.

2. Методическая разработка к курсовой работе.

3. В.П. Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.И. Крук. Основы теории цепей 2000г.

4. А.Ф. Белецкий. Теория линейных электрических цепей, 1986г.

5. Н.Н. Цаплин. Электрические фильтры, 2004г.