Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Расчёт переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

1

Министерство Образования Украины

Кафедра электротехники

Рисунок 1:

Рисунок 2:

График 1:

1 этап курсовой работы

Расчет цепи с двумя реактивными элементами в переходных процессах классическим методом

1 этап

Запишем начальные условия в момент времени t(-0)

i2(-0)=i1(-0)=== 1.52 (A)

Uc(-0)= i2.R2=Uc(+0)

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i1-i2-ic=0 (1)

i1.R1+ i2. R2+L=U (2)

i1.R1+ Uc=U (3)

Из (2) уравнения выразим i1

i1= (2.1)

i1 из уравнения (2.1) подставим в (1) и выразим ic

ic= (1.1)

i1 подставим в (3) и выразим Uc

U= (3)

Uc=U-U- i2. R2- (3)

Uc=i2.R2+ (3.1)

Uc= (3.2)

Подставим в место Uc и ic в уревнение (3.2), получим:

(3.3)

Продифференцируем уравнение (3.3) и раскроем скобки:

(3.4)

В дифференциальном уравнении(3.4) приведём подобные слогаемые:

2 этап

Во втором этапе мы решим дифференциальное уравнение относительно i2, для этого мы представим i2 как сумму двух составляющих i2св - свободная составляющая и i2вын - вынужденная составляющая

i2=i2св+i2вын

i2вын найдём по схеме

i2вын=

i2св найдём из дифференциального уравнения подставив численные значения в уравнение и заменив через , а через 2 получим:

L2+R2++=0 (3.5)

Решим характеристическое уравнения (3.5) найдя его корни 1 и 2

0.12+10++

15384,6+153,85+40000+10+0,12=0

Д=b2-4ac=(163,85)2-4.0,1.55384,6=26846,82-22153,84=4692,98

1,2=; ; 12 - вещественные

1=

2=

i2св=А1е-477t+А2е-1162t (3.6)

i2=1.94+ А1е-477t+А2е-1162t (3.7)

3 этап

Найдём А1 и А2 исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1 этапе.

Найдём ток i2 для момента времени t = +0. Для этого продифференцируем уравнение (3.6) при t=0.

i2(+0)=i2вын(+0)+ А1+А2

-477 А1-1162 А2

Из уравнения (2) найдём для момента времени t+0

(3.8)

Из уравнения (3) выразим i1 для момента времени t+0 при Uc=i2R2

i1= (3.9)

Найдём подставив значение i1 из уравнения (3.9) в уравнение (3.8)

(4.0)

Подставим значение , i2(+0), i2вын в систему и найдём коэффициенты А1 и А2

1,52=1,94+ А1 + А2 (4.1)

2=-477 А1-1162 А2 (4.2)

Из уравнения (4.1) выразим A1 и подставим в (4.2)

А1=-0,42-А2

2=-477(-0,42-А2)-1162А2 (4.3)

Из уравнения (4.3) найдём А2

2=200,34+477А2-1162А2

2=200,34-685А2

А2=

А1=-0,42-0,29=-0,71

Подставим найденные коэффициенты А1 и А2 в уравнение (3.7)

i2=1,94-0,71е-477t+0,29е-1162t (А)

4 этап

Определяем остальные переменные цепи UL, Uc, ic, i1

UL= (В)

Uc= +i2R2=

= (В)

ic= (А)

i1=ic+i2=(0,044е-477t+0,014е-1162t)+( 1,94-0,71е-477t+0,29е-1162t) =

=1,94-0,666е-477t+0,304е-1162t (А)

Построим графики изменения найденных величин в одних осях. Графики изменения построим на интервале, равном времени переходного процесса tnn.

Это время определим по формуле:

tnn=

Найдём tпп время переходного процесса

tпп= (с)

Таблица переменных

Рисунок 3 - График токов

где

i1 i2 ic

Рисунок 4 - График напряжений

где

UL UC

2 этап курсовой работы

2. Найдём выражение для тока в катушке при действии в цепи источника синусоидального напряжения:

e(t)=Emsin(t+)

R1

где Em=100 (B)

=2f =2 3,14 50=314 (Гц)

=300

R1=R2=10 (Ом) L=100 (мГн)

R3=9 (Ом) С=100 (мкФ)

=314 (Гц)

XL=L=314. 0,1=31,4 (Ом)

XC= (Ом)

Найдём начальные условие:

U(t)=Umsin(t+)=100sin(314+30);

Um=100ej30=86,603+j50 (В)

UC(-0)=0 (B)

Найдём полное сопротивление цепи

Zп=R1+R3+jXL=10+9+j31,4=19+j31,4 (Ом)

Зная сопротивление и напряжение найдём I3m

I3m=I1m=(А)

Найдём мгновенное значение тока

i3(t)=I3msin(t+)=2.725sin(314t-28.82) (A)

Для времени t=0 ток будет равен

i3(-0)=2.725sin(-28.82)=-1.314 (A)6 (A)

Таким образом

UC(-0)=UC(+0)=0 (B)

i3(-0)= i3(+0)=-1.314 (A)

1 этап

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i1-i2-i3=0 (1)

i1.R1+ i3.R3+L=U(t) (2/)

i1.R1+i2.R2+Uc=U(t) (3/)

Из (2/) уравнения выразим i1

i1= (2/.1)

i1 из уравнения (2/.1) подставим в (1/) и выразим i2

i2= (1/.1)

U(t)=U(t)-i3.R3-L+R2

- (3.1)

Продифференцируем уравнение (3.1) раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

(3.2)

2 этап

Вид решения для i3св при действии в цепи источников постоянного и переменного напряжений одинаков, так как в однородном дифференциальном уравнении отсутствует параметр U, а значит, вид i3св не зависит от входного напряжения.

Таким образом, выражение, которое было найдено в 1этапе, будет иметь следующий вид:

i3св=А1е-406t+А2е-234t

Теперь найдём вынужденную составляющую тока катушки i3вын

i3вын находим для цепи в послекоммутационном режиме. Расчёт параметров схемы при действии e(t);

Найдём вынужденную составляющую амплитудного тока I1, а для этого найдём Zп вын сопротивление цепи:

Zп вын= (Ом)

I1m= (A)

Найдём Uab вын

Uab m= I1m (В)

I3 m= (A)

Найдём i3 вын

I3 вын= I3 msin(t+)=2.607sin(314t-43.60) (A)

Таким образом

i3=2.607sin(314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t

3/ этап

Найдём А1 и А2 исходя из начальных условий, законов коммутации и на основании системы уравнений Кигхгофа записаных на 1/ этапе.

i3=2.607sin(314t-43.60)+А1е-406t+А2е-234t

i3(+0)=i3(-0)=-1.314 (A)

i3(+0)=2.607sin(-43.60)+A1+A2=-1.798+A1+A2

R1i1=U(t)-R2i2-UC

=

=

Подставим значение , i3(+0), и найдём коэффициенты А1 и А2 для времени t+0

-1.314=-1.798+A1+A2

433.96=592/806-406A1-234A2

A1=-1.314+1.798-A2=0.484- A2

433.96=592.806-406(-0.484- A2)-234 A2

433.96-592.806+406 .0.484= A2(406-234)

37.658=172A2 A2=0.219

A1=0.265

Ток i3 будет равняться

I3=2.607sin(314t-43.600)+0.265е-406t+0.219е-234t (A)

Таблица переменных

3 этап курсовой работы

Найдём выражение для тока катушки операторным методом:

R1 R2

Запишем начальные условия в момент времени t(-0)

I3(-0)=== 5.263 (A)

Uc(-0)=0 (В)

Нарисуем схему замещения цепи для расчёта тока катушки операторным методом.

В ветви с реактивными элементами добавим ЭДС, так как у нас не нулевые начальные условия. Причём в ветвь катушки по на правлению тока, а в ветвь конденсатора против тока.

Определим операторное изображение тока катушки. Для этого составим систему уравнений по законам Кирхгофа, направление ЭДС катушки указанo на схеме.

I1(p)-I2(p)-IC(p)=0 (1.3)

(2.3)

(3.3)

Из уравнения (2.3) выразим ток I1(p) и подставим в уравнение (3.3):

Из уравнения (3.3)

(2.3.1)

(2.3.2)

Подставим численные значения элементов

По полученному изображению найдём оригинал тока .

Операторное решение тока имеет вид правильной дроби I=. Оригинал тока найдём при помощи теоремы разложения.

Определим корни знамена теля, для этого приняв его равным нулю.

p1=0

0,000065p2+0,1065p+36=0

Д=(0б1065)2-4.0,000065.36=0,0019

I2(p)=

Найдём A1 A2 A3

Коэффициент An будем искать в виде, где N(p) - числитель, а M(p) - знаменатель

A1=

A2=

A3=

Таким образом, i2(t) будет равняться

i2(t)=A1.exp(p1t)+ A2.exp(p2t)+ A3.exp(p3t)=1,944-0,71e-477t+0,3e-1162t

Искомый ток катушки i2 равняется :

i2=1,944-0,71e-477t+0,3e-1162t (A)

Токи сходятся.

4 этап курсовой работы

Начертим схему для расчёта цепи интегралом Дюамеля и рассчитаем её

Определим переходную характеристику h1(t) цепи по напряжению UR2. Для этого рассчитаем схему при подключении цепи в начальный момент t=0 к источнику единичного напряжения. Рассчитаем схему классическим методом. Так как нулевые начальные условия UC(-0)=UC(+0)=0, это значит дополнительных ЕДС не будет.

Напишем уравнения по законам Кирхгофа для цепи:

i1-i2-ic=0

i1.R1+ i2.R2=U iс=

iс.R3-i2.R1+Uc=0 i1=i2+iс

i1=i2+iс

i2(R1+R2)+iсR1=U i2=

iс.R3-i2.R1+Uc=0

iс.R3+Uc-+

ic+

+

+

0,00043+1=0 = -2322,58 ()

UC св=Ae-2322,58t

UC вын= (B)

UC=UC св+UC вын=0,278+Ae-2322,58t A=-0,278

UC=0,278-0,278e-2322,58t (B)

iс==25.10-6.0,278.2322,58e-2322,58t=0,016e-2322,58t (A)

Uab=icR3+UC=0,278-0,12e-2322,58t (B)

Таким образом переходная характеристика h1(t) будет равна

h1(t)=UR2(t)=0,28-0,12.e-2322,58t (В)

= (c)

5 этап курсовой работы

Для расчета переходного процесса используем интеграл Дюамеля.

Переходную характеристику h1(t) возьмем из предыдущего этапа

h1(t)=0,28-0,12.e-2322,58t (В)

tпп=(c)

Найдём , t1, t2, U1/(), U2/():

= (с)

t1==0.00043 (c) t2=1,5=0.00065 (c) t3=2=0.00086 (c)

U0=20 (В); U1=-5 (B); U2=-10 (B);

U1/()=0 () U2/()= ()

U3/()= ()

Запишем уравнение UR2(t) для интервала :

UR2=U0.h1(t)+ (B)

Запишем уравнение UR2(t) для интервала :

UR2=U0.h1(t)+

+

-

(B)

Запишем уравнение UR2(t) для интервала :

UR2=U0.h1(t)+

+=

- )+

+ (B)

Запишем уравнение UR2(t) для интервала :

UR2=U0.h1(t)+

+

-

+ (B)

Строим графики U(t) и UR2(t) по данным таблиц.