Теория автоматического регулирования

Математическое описание динамики системы
Расчет необходимого коэффициента передачи и проверка устойчивости нескорректированной САУ
Построение желаемой ЛАЧХ (первоначальный вид)
Уточнение желаемой ЛАЧХ, определение итоговой передаточной функции последовательного корректирующего звена
Выбор способа реализации корректирующего устройства (последовательное - параллельное)
Оптимизация параметров корректирующего устройства по интегральному квадратичному критерию, выбор схемы корректирующего устройства и расчет его параметров
Определение показателей качества и запасов устойчивости скорректированной САУ
Построение области устойчивости скорректированной САУ в плоскости параметров, заданных руководителем
Заключение
Список литературы
Приложение

Система автоматического регулирования скорости двигателя
Функциональная схема системы изображена на рис. 1, а значения параметров ее элементов и показателей качества сведены в таблицу, которая представлена в задании на курсовую работу по Теории автоматического управления.

Рис. 1. Функциональная схема системы автоматического регулирования скорости двигателя.

Назначение системы состоит в регулировании скорости вращения якоря электродвигателя Д, требуемое значение которой задается положением движка потенциометра П при изменении момента нагрузки Мн.

Значение скорости щд вращения якоря двигателя с помощью тахогенератора ТГ преобразуется в напряжение Uтг, которое сравнивается с напряжением задающим U1, соответствующим заданному значению скорости. Разность между этими напряжениями U2=U1-Uтг, пропорциональная отклонению скорости от заданного значения, последовательно усиливается электронным усилителем Ус и двумя каскадами электромашинного усилителя ЭМУ (в его короткозамкнутой цепи и в главной цепи якоря). Напряжением с выхода ЭМУ питается обмотка возбуждения генератора Г, который и управляет скоростью вращения якоря двигателя.

Математическое описание динамики системы

Для того, чтобы иметь возможность выполнять все необходимые расчеты, прежде всего, нужно найти передаточные функции всех элементов системы, отражающие в динамике математическую зависимость между их входными и выходными величинами.

Электронный усилитель

Входной величиной электронного усилителя является напряжение рассогласования U2 , а выходной - напряжение Uу. Переходные процессы, происходящие в электронных усилителях, гораздо быстрее, чем в ЭМУ, генераторе и двигателе, поэтому ими можно пренебречь. Таким образом, пренебрегая инерционностью усилителя (то есть влиянием резистора Rу и индуктивностью катушки Lу) и считая его линейным, получим его передаточную функцию:

Wус(p) = Kус.

Электромашинный усилитель.

Входной величиной ЭМУ является напряжение на обмотках катушки управления Uy, а выходной напряжение на «щётках» ЭМУ (ЭДС) Eэмy.

Рис. 2. К определению передаточной функции ЭМУ.

Под действием напряжения Uу возникает ток , который в катушке порождает магнитный поток . Этот поток наводит в обмотках якоря ЭДС индукции. В короткозамкнутой цепи ЭМУ протекает ток , вызывая поток , действующий на вторичную обмотку ЭМУ. Поскольку ЭМУ - усилитель двухкаскадный, (t) = f(,) и = (коэффициент усиления по току управляющей цепи) для первого каскада, а (t)=f(,) и = - соответственно для второго каскада (коэффициент усиления по току короткозамкнутой цепи)[2].

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для цепи управления и поперечной короткозамкнутой цепи:

;

Э.Д.С. вращения поперечной цепи якоря равна:

; (1)

А Э.Д.С. продольной цепи равна:

; (2)

Из (2) найдем, что:

;

Подставив полученное значение тока в (1) получим:

;

Из последнего выражения с учетом выражения (1) получим значение тока управляющих обмоток:

;

Запишем теперь уравнение связывающее между собой величины Uy и Eэму:

;

Вынесем за скобки множитель и разделим на него правую и левую часть полученного выражения:

;

коэффициент передачи ЭМУ;

постоянная времени управляющей цепи;

постоянная времени короткозамкнутой цепи.

;

Применим преобразование Лапласа с нулевыми начальными условиями и запишем передаточную функцию ЭМУ:

;

Генератор.

Генератор выступает как усилительный элемент: он усиливает мощность сигнала, который приходит на его вход.

Рис. 3. К определению передаточной функции генератора.

Входной величиной генератора является напряжение на обмотках катушки возбуждения Eэму (ЭДС ЭМУ), а выходной напряжение на «щётках» генератора (входное напряжение якорной цепи). Обмотка возбуждения - это проволока с большим количеством витков; если по ней течёт ток, то возникает магнитное поле, и якорь начинает крутиться, в результате чего в нём возникает ЭДС и появляется напряжение : чем оно больше, тем быстрее вращается якорь. Генератор работает только при Eэму>0.

Запишем уравнение для цепи возбуждения генератора:

, (3)

где и индуктивность и сопротивление цепи возбуждения.

Поскольку поток возбуждения (t)= (t), а (t)= = (t), то (t)= , подставим это выражение в (3) и в полученном уравнении перенесём и множитель в правую часть этого уравнения:

;

Для более простого вывода передаточной функции генератора будем считать, что генератор работает в режиме «холостого хода», а значит, можем принять равными величины и . Также выразим коэффициент передачи генератора: = .

Применим преобразование Лапласа с нулевыми начальными условиями к выражению:

Запишем передаточную функцию для генератора:

;

постоянная времени цепи генератора.

Двигатель.

Рис. 4. К определению передаточной функции двигателя.

В [1] на стр. 11 в качестве примера рассматривается определение передаточной функции электродвигателя в системе регулирования его скорости:

Интересующая нас выходная величина двигателя это его скорость , а внешние (входные) воздействия - это, с одной стороны, электродвижущая сила Eэму, наводимая в главной обмотке якоря ЭМУ (Rя и Lя - суммарные активное сопротивление и индуктивность обмоток якоря ЭМУ и двигателя), с другой - момент нагрузки на валу , являющийся возмущающим воздействием. Поэтому для описания динамики двигателя нужно связать дифференциальным уравнением скорость двигателя с электродвижущей силой ЭМУ и моментом нагрузки .

По второму закону Кирхгофа уравнение электрического равновесия для цепи якоря:

где - напряжение самоиндукции

- падение напряжения на активном сопротивлении обмотки якоря

- противо-ЭДС, возникающая в обмотке якоря двигателя при вращении.

Момент вращения, развиваемый двигателем на валу, преодолевает момент нагрузки и инерцию вращающихся частей. Тогда уравнение равновесия моментов на валу двигателя:

где - приведенный к валу двигателя момент инерции всех вращающихся частей.

Противо-ЭДС пропорциональна скорости вращения якоря:

;

А момент вращения якоря пропорционален току якоря:

;

Из уравнения равновесия моментов на валу двигателя и выражения для момента вращения якоря найдем ток якоря:

Подставляя полученное для тока якоря выражение и выражение для противо-ЭДС в уравнение электрического равновесия для цепи якоря, получим:

Или

Применим преобразование Лапласа с нулевыми начальными условиями:

где- постоянная времени якорной цепи

- электромеханическая постоянная двигателя

- коэффициент передачи двигателя по управляющему воздействию

- коэффициент передачи двигателя по возмущающему воздействию

Находим теперь из полученного уравнения передаточные функции двигателя по управляющему воздействию:

;

И по возмущающему воздействию:

;

В двигателях малой и средней мощности электромагнитные переходные процессы заканчиваются значительно быстрее механических вследствие малой величины Tя. Пренебрегая постоянной времени Tя по сравнению с Tд, получаем упрощенные передаточные функции двигателя упрощенные передаточные функции двигателя по управляющему воздействию:

;

И по возмущающему воздействию:

;

Тахогенератор.

Рис. 5. К определению передаточной функции тахогенератора.

Тахогенераторы часто работают в переходных режимах, при непрерывном изменении как входного (угол поворота или частота вращения), так и выходного (ЭДС якоря) параметров. Процессы, происходящие в тахогенераторе в неустановившихся режимах, описываются дифференциальными уравнениями. Если пренебречь размагничивающим действием реакции якоря, то уравнение переходного процесса тахогенератора примет вид:

где ;

- угол поворота вала тахогенератора;

- угловая скорость вала тахогенератора.

Так как на выходе тахогенератора включено сопротивление усилителя, которое можно представить в виде резистора сопротивлением , то ток якоря:

а производная тока:

Подставив эти два уравнения для тока и его производной, а также значение ЭДС в уравнение для переходного процесса тахогенератора, после несложных преобразований получим:

;

где - постоянная времени якорной цепи;

- коэффициент передачи тахогенератора при нагрузке.

Изображение по Лапласу ( при нулевых начальных условиях) для последнего полученного уравнения имеет вид:

следовательно, передаточная функция тахогенератора:

Поскольку нагрузкой тахогенератора (ТГ) является вход электронного усилителя, сопротивление которого, как правило, велико, постоянная времени ТГ оказывается достаточно малой по сравнению с постоянными времени остальных элементов. Поэтому (пренебрегаем инерционностью), то передаточная функция ТГ примет такой окончательный вид:

Установив передаточные функции всех элементов, входящих в систему авторегулирования, можно составить математическое описание всей системы. Удобнее всего представить его в виде структурной схемы, которая строится, исходя из функциональной схемы и полученных передаточных функций элементов системы. Данная структурная схема представлена на рис. 6.

Рис. 6. Структурная схема системы регулирования скорости двигателя.

Приведем представленную структурную схему к типовому виду. Для этого необходимо, чтобы: обратная связь должна быть единичной, входная величина должна быть такой же физической природы, что и выходная, и перед контуром обратной связи не должно быть звеньев.

Воспользовавшись структурными преобразованиями, вынесем КТГ из ветви обратной связи:

Рис. 7. Структурная схема САУ с единичной обратной связью.

Если мы отбросим звено, стоящее перед контуром обратной связи, считая входным воздействием некое щЗАД, а также отбросим звено после Mн , считая возмущающим воздействием щн (добавка скорости со стороны нагрузки), мы получим типовую структурную схему САУ:

Рис. 8. Типовая структурная схема САУ.

Передаточная функция разомкнутой нескорректированной САУ принимает такой вид:

Расчет необходимого коэффициента передачи и проверка устойчивости нескорректированной САУ

Расчет необходимого коэффициента передачи.

В передаточной функции разомкнутой нескорректированной системы можно выделить общий коэффициент передачи К:

где - передаточная функция, содержащая только звенья с единичным коэффициентом передачи.

Величина этого коэффициента однозначно определяется заданным значением коэффициента ошибки. Для нашей системы без астатизма этот коэффициент:

Найдем необходимый коэффициент передачи:

Реально этот коэффициент должен быть больше необходимого значения, чтобы обеспечить требуемую точность даже при его изменении в каких-то пределах (к примеру, увеличение в 2 раза даёт подъём на 6дБ по ЛАЧХ). Я решил выбрать .

Проверка устойчивости нескорректированной САУ

Передаточная функция разомкнутой нескорректированной САУ имеет вид:

Проверку на устойчивость проведем, построив переходную функцию для нескорректированной разомкнутой системы (если на графике переходная функция в конечном счёте «затухает», система устойчива и наоборот) (см. Приложение рис.1).

Итак, наша система является неустойчивой. Для обеспечения устойчивости системы и для достижения требуемого качества переходного процесса в систему должно быть включено корректирующее устройство.

Построение желаемой ЛАЧХ (первоначальный вид)

Одним из самых удобных и наглядных методов синтеза корректирующего звена является метод логарифмических амплитудно-частотных характеристик. Согласно этому методу, сначала строится желаемая ЛАЧХ, которую должна иметь разомкнутая скорректированная САУ, чтобы удовлетворялись заданные требования качества. Затем путем сравнения желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ нескорректированной разомкнутой САУ, получаем характеристику корректирующего звена последовательного включения. Рассматриваем также вариант параллельной коррекции, и если звено получается проще или выявляются ещё какие-то преимущества - выбираем этот тип коррекции.

Итак, первый этап синтеза - построение желаемой ЛАЧХ разомкнутой САУ. Построение желаемой ЛАЧХ основано на связи переходного процесса САУ с вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) замкнутой системы и ЛАЧХ разомкнутой системы.

Прежде всего, выбираем типовую ВЧХ замкнутой САУ, отвечающую требуемым показателям качества. На рис. 9 изображена типовая трапецеидальная ВЧХ, которую можно реализовать, используя корректирующее звено наиболее простой структуры.

Рис. 9. Типовая трапецеидальная ВЧХ замкнутой системы.

Типовая ВЧХ описывается следующими параметрами:

-- коэффициент наклона;

-- дополнительный коэффициент наклона;

-- коэффициент формы;

-- интервал положительности.

Pmax и Pmin--максимальное и минимальное значения ВЧХ.

Из рассмотрения заранее построенных кривых переходных процессов для различных коэффициентов , 1 и л было установлено, что лучшие переходные процессы соответствуют ВЧХ с коэффициентами ? 0,8, 1 ? 0,4, л ?0,5. Величина перерегулирования уmax в этом случае определяется в основном значением Pmax. Для связи параметров переходного процесса (tр - времени регулирования и у - перерегулирования) с параметрами ВЧХ замкнутой САУ (Pmax - максимальным значением и щп - частотой положительности) существуют специальные номограммы перевода (рис. 10).

Рис. 10. Графики зависимости времени регулирования tр и перерегулирования у от максимального значения Pmax ВЧХ при ? 0,8, 1 ? 0,4, л ?0,5.

Отрицательная часть ВЧХ влияет на перерегулирование, увеличивая его на величину:

.(4.1)

Увеличение перерегулирования можно учесть, положив (при этом кривые с индексами Pmin и Pmax на рис. 11 будут располагаться симметрично):

.(4.2)

Затем по Pmax по рис. 9 определяем зависимость между tр и щп. По заданному tр определяем щп.

После нахождения основных величин для типовой ВЧХ - щп, Pmax и Pmin - можно переходить к формированию желаемой ЛАЧХ.

Очевидно, что

Pmin ? P(щ) ? Pmax.(4.3)

С помощью номограммы перевода ЛАФХ разомкнутой САУ в ВЧХ замкнутой САУ (рис. 11) можно определить требование к желаемой ЛАЧХ.

Последнее условие эквивалентно требованию, чтобы ЛАФХ не заходила в запретную область, ограниченную кривыми с индексами Pmin и Pmax. Можно заменить это условие более жестким, но и более простым: АФХ не должна заходить в прямоугольник, охватывающий две эти кривые. Чтобы ЛАФХ не попадала внутрь указанного прямоугольника, одновременно должны выполняться условия в определенном интервале частот:

L2 ? Lж(щ) ? L1

цж(щ) > ц1,(4.4)

где

ц1 - вертикаль прямоугольника, охватывающего кривые с индексами Pmin и Pmax на рис. 10;

L1 и L2 - соответственно верхняя и нижняя горизонталь прямоугольника;

Рис. 11. Номограмма для перевода логарифмической АФХ разомкнутой системы в ВЧХ замкнутой системы

Сначала построим ЛАЧХ и ЛФЧХ для нескорректированной разомкнутой системы (см. ПРИЛОЖЕНИЕ Рис.2). Все ЛАЧХ, представленные на этом рисунке, будут первоначальными («несглаженными») для удобства и наглядности.

Порядок построения нескорректированных ЛАЧХ и ЛФЧХ:

1) На уровне 20=53дБ параллельно уровню 0дБ откладывается горизонтальная прямая.

2) На частоте щs1=8,13 (постоянная времени 0,123с) проводим прямую с таким наклоном: -20дБ/дек.

3) На частоте щs2=25 (постоянная времени 0,04с) проводим прямую с таким наклоном: -40дБ/дек.

4) На частоте щs3=50 (постоянная времени 0,02с) проводим прямую с таким наклоном: -60дБ/дек.

5) На частоте щs4=66,67 (постоянная времени 0,015с) проводим прямую с таким наклоном: -80дБ/дек. На этом построение нескорректированной ЛАЧХ завершено.

6) Строим ЛФЧХ по формуле ц(щ)=-arctg(щ)-arctg(щ)-arctg(щ)-arctg(щ).

Итак, изменение наклона ЛАЧХ на -20дБ/дек на каждой следующей частоте сопряжения проводится в связи с тем, что все звенья, кроме , входящие в - инерционные. Поэтому для каждого из них ЛФЧХ строится по зависимости -arctg(щ). Если бы наклон на следующей частоте сопряжения был например -40дБ/дек, то зависимость была бы 2. Поэтому в дальнейшем все ЛФЧХ будем строить аналогично этой(***).

Теперь примем порядок построения желаемой ЛАЧХ, предложенный в [1]:

1) Определим с помощью графика (рис. 10) параметры Pmax и Pmin ВЧХ, соответствующие заданному перерегулированию.

Для нашего случая у = 25%. При у = 25% по рис. 9 определили: Pmax = 1,15

Pmin = 1 - 1,15 = - 0,15.

По формуле (4.1) найдем увеличение перерегулирования Ду:

Ду ? 0,3•0,15•100% =4,5%.

Итак, возьмем Pmax = 1,15, Pmin = -0,15.

2) Определим частоту положительности щп, исходя из требуемого времени регулирования tр и Pmax - по рисунку 10.

При Pmax = 1,15 и tр=1

tрmax = 4р / щп.

Следовательно, щп = 4р / tрmax = 12,566

3) Выберем частоту среза желаемой ЛАЧХ из диапазона

щс = (0,5 ч 1) щп ,

где 0,5 и 1 - критические граничные значения (в [1] были указаны значения с запасом - 0,6 и 0,9), исходя из соображений:

- чем больше щс, тем более быстродействующей будет система, потому что желаемая ЛАЧХ, а значит, и ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства будет сдвигаться вправо, что приведёт к увеличению самой первой частоты сопряжения (самой маленькой), а значит, к уменьшению постоянной времени (самой большой), соответствующей этой частоте;

- чем меньше - тем проще корректирующее устройство, потому что запретная область будет сдвигаться в сторону низкочастотной части желаемой ЛАЧХ, что позволит повторить высокочастотную часть нескорректированной ЛАЧХ на желаемой, всё меньше попадая в запретную область.

Пойдем по пути максимального упрощения корректирующего устройства в соответствии с целью курсового проекта, выбрав коэффициент 0,527:

щс = 0,527щп = 6,62

4) На оси 0 дБ отметим точку, соответствующую частоте среза, и через нее проведем прямую с наклоном -20 дБ/дек (данный наклон был выбран в связи со следующими соображениями: чем круче амплитуда, тем круче фазовая характеристика - -90є при -20дБ/дек; если выбрать наклон круче, то ЛФЧХ будет спускаться к уровню -180є, что может повлиять на устойчивость). Эта прямая будет среднечастотной асимптотой желаемой ЛАЧХ.

Провели прямую через точку (6,62; 0 дБ) с наклоном -20 дБ/дек.

5) По кривым (рис. 11) определим размеры «запрещенной зоны» для желаемых ЛАЧХ и ФАЧХ: L1, L2 и ц1. L1 и L2 отложим на оси ординат и проведем прямые, параллельные оси 0 дБ . Также проведем горизонтали на ЛФЧХ, между которыми будет находиться «запрещённая зона»: ц1 и -180є.

По рис.11 для Pmax = 1,15, Pmin = -0,15: L1 = 18 дБ, L2 = -18 дБ, ц1 = -130є.

В дальнейшем эти горизонтальные прямые (L1 и L2) понадобятся нам для проверки условия (4.4). Точки пересечения этих прямых с желаемой ЛАЧХ будут давать диапазон частот, в котором желаемая ЛФЧХ в идеале должна находиться вне «запрещённой зоны».

6) Низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ - это низкочастотная асимптота ЛАЧХ нескорректированной разомкнутой САУ с требуемым коэффициентом передачи К , при котором обеспечивается заданная точность регулирования.

7) Сопрягаем среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ с низкочастотной нескорректированной ЛАЧХ на частоте 0,0182 (постоянная времени 54,945с) (чтобы полученная в дальнейшем ЛАЧХ последовательного корректирующего звена начиналась на уровне 0дБ), причем стараемся сделать так, чтобы корректирующее звено при этом было как можно проще (если не делать сопряжения, то ЛАЧХ последовательного корректирующего звена будет лежать выше уровня 0дБ, то есть попадёт в положительную полуплоскость, а значит, понадобится усиление в виде добавления дополнительного усиливающего устройства в корректирующее звено, что сильно его усложнит).

Стараемся менять наклон асимптоты желаемой ЛАЧХ на тех же частотах, на которых меняется наклон асимптоты нескорректированной ЛАЧХ. При этом корректирующее звено будет иметь меньше сопряжений, то есть будет проще.

В нашем случае сопрягли среднечастотную асимптоту на частоте, при которой эта асимптота пересекается с низкочастотной. Частота сопряжения: 0,0182(соответствующей постоянной времени 54,945). Изменение наклона на частоте 8,13 (соответствующей постоянной времени 0,123) мы пропустили, так как нам нужно было приблизиться к низкочастотной асимптоте, то есть не менять наклон среднечастотной асимптоты в «запрещённой зоне». Проверяем выполнение условия (4.4) - выполняется.

8) Строим высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ. Проводим ее так, чтобы разность наклонов между асимптотами нескорректированной и желаемой ЛАЧХ не превышала 20 дБ/дек, а последние асимптоты сливались.

Изменения наклонов также желательно производить на тех же частотах, на которых меняются наклоны асимптоты нескорректированной САУ.

Крайняя правая асимптота желаемой ЛАЧХ может иметь тот же наклон, что и последняя асимптота ЛАЧХ нескорректированной САУ или «сливаться» с ней на какой-то частоте (чтобы получить последний наклон ЛАЧХ последовательного корректирующего звена равным 0дБ/дек).

Изменение наклона на частоте 25 (соответствует постоянной времени 0,04) мы пропустили аналогично предыдущему пункту 7), чтобы обеспечить как можно меньше изменений наклона асимптоты ЛАЧХ на отрицательную величину (т.е. на -20дБ/дек, на -40дБ/дек).

Последнее изменение наклона произвели на частоте, на которой асимптоты ЛАЧХ нескорректированной САУ и желаемой ЛАЧХ имеют одинаковый наклон -80дБ/дек (разница наклонов 0дБ/дек для ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства). Это происходит на частоте 50 (постоянная времени 0,02). Проверяем выполнение условия (4.4): оно выполняется, во всей среднечастотной части желаемой ЛАЧХ сохраняется наклон -20дБ/дек. Теперь строим ЛАЧХ последовательного корректирующего звена, вычитая из каждого следующего наклона желаемой ЛАЧХ наклон нескорректированной. Затем в соответствующих диапазонах частот строим полученные разностные наклоны. Все получившиеся ЛАЧХ, желаемая и последовательного корректирующего звена, представлены в приложении на Рис.2 сплошными линиями. По полученной ЛАЧХ последовательного корректирующего звена запишем его передаточную функцию:

Все окончательные («сглаженные») ЛАЧХ и ЛФЧХ мы строили при помощи программы Mathcad (см. Приложение Рис.3,4,5,6). При этом ввели в программу передаточные функции нескорректированной САУ и скорректированной. Передаточная функция скорректированной САУ будет иметь следующий вид:

Это выражение мы получили, перемножив передаточные функции и .

Окончательные графики ЛАЧХ нескорректированной и получившейся скорректированной САУ представлены в приложении на Рис.3 (тонкой линией - ЛАЧХ корректирующего звена (в данном случае с наклонами 0 -20 0 +20 0), средней толщины линией - скорректированной САУ, толстой линией - нескорректированной). Там же представлен график желаемой ЛФЧХ. Как видно из рисунков, условие (4.4) почти выполняется. ЛФЧХ заходит в «запрещённую зону» в её конце, ближе к высокочастотной части ЛЧХ. Это можно объяснить следующим образом.

Факт захода в «запрещённую зону» означает лишь то, что либо Pmax окажется выше изначального значения либо Pmin - окажется ниже в зависимости от того, в какой области частот был совершён заход в «запрещённую зону». Высокочастотная область ЛЧХ соответствует малой области времён, где процесс САУ будет действовать, а низкочастотная - большой области времён, где процесс уже завершится. Поэтому Pmax влияет на показатели качества процесса гораздо сильнее, чем Pmin.

Из-за того, что низкочастотная часть ЛФЧХ, как видно на Рис.3, имеет некоторый запас до захода в «запрещённую зону», достаточный для того, чтобы скомпенсировать то, насколько зашла другая часть ЛФЧХ в «запрещённую зону» и учитывая то, что по Рис.10 был взят представленный там «худший случай» (максимальное перерегулирование), мы можем сделать вывод, что наблюдаемый заход в «запрещённую зону» никак ощутимо не скажется на показателях нашей САУ(**).

Окончательную проверку проведем, построив переходный процесс скорректированной САУ (см. Приложение Рис.7). Все переходные процессы в нашем курсовом проекте строятся по замкнутым передаточным функциям для скорректированной САУ. Например, в данном случае (то есть к знаменателю скорректированной передаточной функции добавляется числитель).

Как мы видим, переходный процесс отвечает нашим запросам с очень большим запасом.

Его показатели качества: .

Такую коррекцию можно осуществить путем введения последовательного звена в виде четырёхполюсника с такой схемой:

Рис. 12. Электрическая схема последовательного корректирующего звена(1).

Уточнение желаемой ЛАЧХ, определение итоговой передаточной функции последовательного корректирующего звена

В предыдущем пункте мы получили первоначальную желаемую ЛАЧХ. САУ с такой ЛАЧХ отвечает требованиям к переходному процессу, причем с большим запасом. Поэтому можно использовать этот запас для упрощения корректирующего звена. То есть можно попробовать предъявить к ЛАЧХ более мягкие требования, чтобы корректирующее звено было проще. Это может привести к ухудшению качества переходного процесса, но вторая по приоритету задача после удовлетворения требований к переходному процессу - это упрощение корректирующего устройства, поэтому пожертвуем качеством, но в допустимых рамках.

Для этого изменим высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ: в диапазоне частот от 25 до 50 сделаем наклон -40дБ/дек, от 50 до 66,67 - наклон -60дБ/дек, а на частоте 66,67 начертим прямую с наклоном -80дб/дек, то есть на высокочастотной части желаемой ЛАЧХ повторим всю высокочастотную часть нескорректированной ЛАЧХ, добившись тем самым на ЛАЧХ последовательного корректирующего звена наклона в 0дБ/дек, начиная с частоты 25 (до частоты 25 наклоны на желаемой ЛАЧХ и последовательного корректирующего звена остались те же: 0 -20 0). Проверяем выполнение условия (4.4): оно почти выполняется, лишь в самом конце среднечастотной части желаемой ЛАЧХ наклон -20дБ/дек меняется на -40дБ/дек, но поскольку эти -20дБ/дек были приняты из соображений устойчивости с некоторым запасом, то небольшое отступление от этого условия не скажется на показателях САУ. Теперь строим ЛАЧХ последовательного корректирующего звена, вычитая из каждого следующего наклона желаемой ЛАЧХ наклон нескорректированной. Затем в соответствующих диапазонах частот строим полученные разностные наклоны. Все получившиеся ЛАЧХ, желаемая и последовательного корректирующего звена, представлены в Приложении на Рис.2 штриховыми линиями. По полученной ЛАЧХ последовательного корректирующего звена запишем его передаточную функцию:

Желаемая ЛФЧХ была построена аналогично действиям (см. *** на с.15).

Тогда передаточная функция скорректированной САУ будет иметь следующий вид:

Окончательные графики ЛАЧХ нескорректированной и получившейся скорректированной САУ представлены в Приложении на Рис.4 (тонкой линией - ЛАЧХ корректирующего звена (в данном случае с наклонами 0 -20 0), средней толщины линией - скорректированной САУ, толстой линией - нескорректированной). Там же представлен график желаемой ЛФЧХ. Как видно из рисунков, условие (4.4) почти выполняется. ЛФЧХ заходит в «запрещённую зону» в её конце, ближе к высокочастотной части ЛЧХ. Это можно объяснить аналогично (см. ** на с.17). В итоге наблюдаемый заход в «запрещённую зону» никак ощутимо не скажется на показателях нашей САУ.

Окончательную проверку проведем, построив переходный процесс скорректированной САУ (см. Приложение Рис.8).

Как мы видим, переходный процесс отвечает нашим запросам с практически половинным запасом, то есть всё ещё достаточно большим.

Его показатели качества: .

Такую коррекцию можно осуществить путем введения последовательного звена в виде четырёхполюсника с такой схемой:

Рис. 13. Электрическая схема последовательного корректирующего звена(2).

Поскольку у нас всё ещё существует почти половинный запас по обоим требуемым показателям качества, попробуем ещё упростить корректирующее устройство.

Для этого вновь изменим высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ: в диапазоне частот от 8,13 до 25 сделаем наклон -40дБ/дек, от 25 до 50 - наклон -60дБ/дек, от 50 до 66,67 - наклон -80дБ/дек, а на частоте 66,67 начертим прямую с наклоном -100дб/дек, добившись тем самым на ЛАЧХ последовательного корректирующего звена наклона в -20дБ/дек, начиная с частоты 0,0182 (до частоты 0,0182 наклон на желаемой ЛАЧХ и последовательного корректирующего звена остался тот же: 0дБ/дек). Проверяем выполнение условия (4.4): оно не очень-то выполняется, в середине среднечастотной части желаемой ЛАЧХ наклон -20дБ/дек меняется на -40дБ/дек, но поскольку эти -20дБ/дек были приняты из соображений устойчивости с некоторым запасом, то отступление от этого условия может и не сказаться на показателях САУ. Проверим мы это позже с помощью графика переходного процесса. А теперь строим ЛАЧХ последовательного корректирующего звена, вычитая из каждого следующего наклона желаемой ЛАЧХ наклон нескорректированной. Затем в соответствующих диапазонах частот строим полученные разностные наклоны. Все получившиеся ЛАЧХ, желаемая и последовательного корректирующего звена, представлены в Приложении на Рис.2 штрих-пунктирными линиями. По полученной ЛАЧХ последовательного корректирующего звена запишем его передаточную функцию:

Желаемая ЛФЧХ была построена аналогично действиям (см. *** на с.15).

Тогда передаточная функция скорректированной САУ будет иметь следующий вид:

Окончательные графики ЛАЧХ нескорректированной и получившейся скорректированной САУ представлены в Приложении на Рис.5 (тонкой линией - ЛАЧХ корректирующего звена (в данном случае с наклонами 0 -20 0), средней толщины линией - скорректированной САУ, толстой линией - нескорректированной). Там же представлен график желаемой ЛФЧХ. Как видно из рисунков, условие (4.4) не выполняется. ЛФЧХ заходит в «запрещённую зону» на её половине. Это можно объяснить аналогично (см. ** на с.17). И в итоге наблюдаемый заход в «запрещённую зону» ощутимо скажется на показателях нашей САУ.

Окончательную проверку проведем, построив переходный процесс скорректированной САУ (см. Приложение Рис.9).

Как мы видим (как и предполагалось выше), переходный процесс никак не отвечает нашим запросам с практически двойной ошибкой, то есть наша задача в этом случае не выполняется. То есть мы можем сделать вывод, что на данном варианте корректирующего устройства мы останавливаться не будем.

Показатели качества: .

Тогда попробуем упростить корректирующее звено другим способом: с помощью изменения высокочастотной части желаемой ЛАЧХ, как в предыдущем пункте, но ещё и со сдвигом её влево посредством уменьшения частоты среза, в итоге была выбрана новая частота среза щс*=1,82. Тогда среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ с низкочастотной нескорректированной ЛАЧХ будут сопрягаться на частоте 0,005 (постоянная времени 200с). Проверяем выполнение условия (4.4): оно почти выполняется, лишь в самом конце среднечастотной части желаемой ЛАЧХ наклон -20дБ/дек меняется на -40дБ/дек, но поскольку эти -20дБ/дек были приняты из соображений устойчивости с некоторым запасом, то небольшое отступление от этого условия не скажется на показателях САУ. Теперь строим ЛАЧХ последовательного корректирующего звена, вычитая из каждого следующего наклона желаемой ЛАЧХ наклон нескорректированной. Затем в соответствующих диапазонах частот строим полученные разностные наклоны. Все получившиеся ЛАЧХ, желаемая и последовательного корректирующего звена, представлены в Приложении на Рис.2 красными штриховыми линиями. По полученной ЛАЧХ последовательного корректирующего звена запишем его передаточную функцию:

Желаемая ЛФЧХ была построена аналогично действиям (см. *** на с.15).

Тогда передаточная функция скорректированной САУ будет иметь следующий вид:

Окончательные графики ЛАЧХ и ЛФЧХ нескорректированной и получившейся скорректированной САУ представлены в Приложении на Рис.6 (тонкой линией - ЛАЧХ корректирующего звена (в данном случае с наклонами 0 -20), средней толщины линией - скорректированной САУ, толстой линией - нескорректированной). Как видно из рисунков, условие (4.4) почти выполняется. ЛФЧХ заходит в «запрещённую зону» в её конце, ближе к высокочастотной части ЛЧХ. Это можно объяснить аналогично (см. ** на с.17). В итоге наблюдаемый заход в «запрещённую зону» никак ощутимо не скажется на показателях нашей САУ.

Окончательную проверку проведем, построив переходный процесс скорректированной САУ (см. Приложение Рис.10).

Как мы видим, переходный процесс отвечает нашим запросам по времени регулирования и с довольно большим запасом по перерегулированию.

Его показатели качества: .

Рис. 14. Электрическая схема последовательного корректирующего звена(3).

Итак, поскольку получившееся корректирующее устройство принципиально упростить уже невозможно, то мы останавливаемся на данном варианте, который является самым простым из проверенных.

Выбор способа реализации корректирующего устройства (последовательное или параллельное)

Принципиально корректирующие звенья могут включаться либо последовательно с основными звеньями системы (данный вариант был нами рассмотрен выше), либо параллельно им, когда корректирующее звено включается в цепь местной обратной связи. Соответственно по способу включения корректирующие звенья делятся на последовательные и параллельные (рис. 18).

а)

б)

Рис. 15. Способы включения корректирующих звеньев:

а - последовательное, б - параллельное.

Здесь - передаточные функции основных звеньев системы.

В линейных системах оба рассмотренных типа коррекции эквивалентны. Связь между передаточными функциями последовательного корректирующего звена и эквивалентной ему обратной связи и, наоборот, параллельного корректирующего звена и эквивалентного ему последовательного выражаются следующими формулами.

Испробуем различные варианты параллельной коррекции:

1)Подключим корректирующее звено, на котором мы остановились, параллельно усилителю:

Мы видим, что при охвате местной ООС усилителя получается довольно простая передаточная функция корректирующего звена, включаемого в эту обратную связь - безынерционный интегратор (идеальный). Однако, как известно, реально сделать такие интеграторы представляется невозможным, значит, нужно «искусственно» внести в получившуюся передаточную функцию инерционность, то есть домножить передаточную функцию на ,где Tx-очень малая постоянная времени, близкая к 0, например, 0,0000001. В таком случае передаточная функция корректирующего звена, включаемого в обратную связь, будет выглядеть так: . Подбирая различные значения и деля на его выбранное значение числитель, мы можем значительно снизить его постоянную времени, что облегчит реализацию получившегося корректирующего звена для обратной связи: не придётся брать слишком большие номиналы резисторов или конденсаторов для формирования нужной постоянной времени.

Но при вышеизложенном варианте параллельной коррекции мы не сможем упростить саму конструкцию корректирующего звена, убрав один резистор из схемы четырёхполюсника. А это может быть достигнуто лишь при равенстве постоянных времени числителя и знаменателя , чего сделать у нас не получится, так как тогда нам понадобится слишком большой коэффициент усиления усилителя (раз постоянная времени знаменателя очень мала), а значит и очень большой коэффициент передачи всей САУ. У нас он был выбран равным 444, увеличить его на порядок или больше, как того бы потребовалось, мы не можем: система тогда станет неустойчивой.

Значит имеет смысл вернуться к корректирующему звену с передаточной функцией и проанализировать, что будет, если его включить в цепь местной ООС для охвата усилителя. Итак, подключим теперь это корректирующее звено параллельно усилителю:

Как мы видим, взяв =446, мы одновременно как уменьшим постоянную времени до вполне приемлемой 0,123с, так и упростим саму конструкцию параллельного корректирующего звена: из схемы четырёхполюсника будет исключён один резистор, служивший в качестве делителя напряжения. В итоге передаточная функция параллельного корректирующего звена примет такой вид: . То, что при этом получился больше общего коэффициента передачи всей САУ, не должно вызывать опасений, так как окончательно он и постоянная времени полученного звена будут окончательно выбраны лишь после оптимизации корректирующего устройства.

2)Подключим корректирующее звено с параллельно генератору:

Мы видим, что получается более сложное корректирующее звено при охвате местной ООС генератора, чем при охвате местной ООС усилителя. Значит, этот вариант отпадает, как и вариант охвата местной ООС генератора при : тогда корректирующее звено получится ещё сложнее.

3) Подключим корректирующее звено с параллельно ЭМУ:

Мы видим, что получается более сложное корректирующее звено при охвате местной ООС ЭМУ, чем при охвате местной ООС и генератора и усилителя. Значит, этот вариант отпадает, как и вариант охвата местной ООС ЭМУ при : тогда корректирующее звено получится ещё сложнее.

4)Охват местной ООС двигателя невозможен в силу величин различной «природы» на его входе и выходе (- напряжение, электрическая величина; - скорость вращения двигателя, физическая величина).

5) Охват местной ООС тахогенератора нецелесообразен, так как он уже включен в главную обратную связь нашей САУ.

6)Соответственно охват местной ООС сразу нескольких устройств также не годится из-за получающихся в таком случае очень сложных корректирующих звеньев.

Итак, в итоге по сравнению с передаточной функцией последовательного корректирующего звена передаточная функция параллельного корректирующего звена получилась проще:

и .

Рассмотрев два вида коррекции, было решено воспользоваться параллельной, так как она обладает следующими преимуществами:

Во-первых, обратную связь, как правило, легче реализовать из-за того, что на её вход поступает более мощный сигнал, чем уровень мощности в той точке системы, куда подключается выход цепи обратной связи.

Второе преимущество относится к свойству отрицательных обратных связей уменьшать отрицательное влияние нелинейностей, имеющихся в охваченной части системы, а также нестабильность её параметров.

В-третьих, охват местной ООС позволяет существенно снизить постоянную времени в параллельном корректирующем звене, что как уже ранее было отмечено, облегчит реализацию получившегося корректирующего звена для обратной связи: не придётся брать слишком большие номиналы резисторов или конденсаторов для формирования нужной постоянной времени.

Оптимизация параметров корректирующего устройства по интегральному квадратичному критерию, выбор схемы корректирующего устройства и расчет его параметров

Из предыдущего пункта следует, что если вместо подставить значение, равное 446, то передаточная функция параллельного корректирующего звена будет выглядеть следующим образом:

Звено, соответствующее такой передаточной функции изображено на рис. 19. Это дифференцирующая RC-цепь.

Рис. 16. Электрическая схема параллельного корректирующего звена(4).

Нарисуем структурную схему для включения параллельного корректирующего звена в нашу САУ (см. рис. 17).

Рис. 17. Структурная схема включения параллельного корректирующего звена в данную САУ

Упростим данную структурную схему следующим образом:

Рис. 18.Упрощенная структурная схема САУ с параллельным корректирующим звеном

Выражение для интегральной квадратичной оценки:

в нашем случае для удобства вычислений:

Перейдём от передаточной функции параллельного корректирующего звена:

к эквивалентной передаточной функции усилительного звена с обратной связью:

Далее будем изменять значение коэффициента передачи (усиления) усилителя и постоянной времени T корректирующего звена, определяя при этом значение I. Значения коэффициента передачи (усиления) усилителя и постоянной времени T будут оптимальными, когда величина I будет минимальной и показатели качества не выйдут за рамки заданных. Результаты расчётов по оптимизации параметров приведены в табл. 1:

Таблица №1

T, с		I	T, с		I
0,20	222	0,0819	0,335	152	0,0767
0,217	200	0,0797	0,325	150	0,0766
0,29	188	0,0789	0,332	149	0,0766
0,30	160	0,0768
0,34	148	0,0766
0,36	145	0,0767
0,32	150	0,0766
0,22	190	0,0790
0,25	171	0,0775
0,28	200	0,0802
0,345	147	0,0766
0,38	142	0,0768
0,10	420	0,1060
0,22	205	0,0801
0,245	200	0,0796
0,30	155	0,0767

Из данной таблицы видно, что минимум интегральной квадратичной оценки достигается при нескольких различных сочетаниях и Т (если рассматривать значение I до точности 0,0001). В итоге для удобства с коэффициентом передачи части САУ, не охваченной местной ООС, были выбран вариант с =148 и T = 0,34с.

Тогда = = . На этом оптимизацию можно считать завершённой.

А теперь для завершения коррекции нашей САУ рассчитаем параметры выбранного для включения в цепь местной ООС корректирующего устройства: (см. рис. 16)

Выберем значение С = 10мкФ, тогда R = 34кОм.

Итак, теперь можно сделать вывод, что коррекция нашей САУ завершена.

Определение показателей качества и запасов устойчивости скорректированной САУ

Передаточная функция скорректированной САУ имеет следующий вид:

Если подставим заданные числовые значения, то получим следующее:

ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной САУ изображены в приложении на Рис.11. А переходный процесс САУ приводится в приложении на Рис.12.

Из рис. 11 мы можем определить следующие запасы устойчивости скорректированной САУ:

· запас по модулю Lз = 6,84 дБ = 20 , значит, Аз = 2,198,

· запас по фазе цз = 38є.

По рис. 12 определим показатели качества скорректированной САУ:

· перерегулирование ,

· время регулирования .

Коэффициент ошибок определяется по формуле:

, где К - это коэффициент передачи разомкнутой системы.

Построение области устойчивости скорректированной САУ в плоскости параметров, заданных руководителем

Руководителем была задана область устойчивости в плоскости следующих параметров: и . Для построения области устойчивости скорректированной САУ, меняя и , а также глядя на переходную характеристику замкнутой скорректированной САУ, находим сначала критические точки, в которых система находится на границе устойчивости в плоскости данных параметров, а затем все остальные точки, в которых переходный процесс «затухает», а значит, в которых система устойчива. Все полученные точки сведём в табл.2:

Таблица №2

	,с
	0
48,34	0
48	0,199
46	0,211
44	0,224
42	0,238
40	0,254
38	0,271
36	0,290
34	0,311
32	0,334
30	0,361
28	0,391
26	0,425
24	0,465
22	0,512
20	0,568
18	0,635
16	0,718
14	0,822
12	0,958
10	1,142
8	1,407
6	1,817
4	2,542
3	3,162
2	4,165
1,5	4,942
1	6,067
0,75	6,842
0,5	7,841
0,25	9,176
0,125	10,027
0

Соединив найденные точки, получим область устойчивости (см. Приложение Рис.13).

Заключение

В результате выполнения данной курсовой работы мы произвели расчет корректирующего устройства для предложенной системы регулирования скорости двигателя, исходя из заданных показателей качества, и выбрали оптимальные параметры корректирующего звена.

В качестве корректирующего устройства нами была выбрана дифференцирующая RC-цепь (рис. 16), подключенная параллельно и охватывающая усилитель. В результате расчета мы получили следующие оптимальные параметры корректирующего звена: R=34кОм, С=10мкФ. Также с помощью вариации был подобран оптимальный передаточный коэффициент усилителя: . Общий же коэффициент передачи САУ получился равным 444.

Все полученные качественные показатели системы сведены в таблицу 3.

Таблица №3

Lз, дБ	цз, град.	у, %	tр, c
6.84	38	24.58	0,6784	0.00225

Итог: система регулирования скорости двигателя отвечает техническим условиям, сформулированным в начале расчета.

Список использованной литературы

1. Методическое пособие для курсового проектирования по курсу «Теория автоматического регулирования» №5.

2. Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования. - М., Изд-во «Машиностроение», 1977. - 592 с.: ил.

3. Волков Н.И., Миловзоров В.П. Электромашинные устройства автоматики: Учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986. - 335 с.: ил.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рис. 1. Переходный процесс для нескорректированной системы (проверка на устойчивость).

Рис. 3.ЛАЧХ и ФАЧХ при коррекции с .

Рис. 4.ЛАЧХ и ФАЧХ при коррекции с .

Рис. 5.ЛАЧХ и ФАЧХ при коррекции с .

Рис. 6. ЛАЧХ и ФАЧХ при коррекции с .

Рис. 7. Переходный процесс для системы, скорректированной звеном с .

Рис. 8. Переходный процесс для системы, скорректированной звеном с .

Рис. 9. Переходный процесс для системы, скорректированной звеном с .

Рис. 10. Переходный процесс для системы, скорректированной звеном с .

Рис. 11. ЛАЧХ и ФАЧХ скорректированной САУ (запасы устойчивости).

Рис. 12. Переходный процесс скорректированной САУ (после оптимизации).

Рис. 13. Область устойчивости в плоскости параметров и .