Теория электрических цепей

В основе временного метода лежит понятие переходной и им-пульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции. Обозначается переходная характеристика цепи g(t). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воз-действие единичной импульсной функции (d-функции). Обо-значается импульсная характеристика h(t). Причем, g(t) и h(t) определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зави-симости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмер-ными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Использование понятий переходной и импульсной характери-стик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непе-риодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t) или импульс-ной функции d(t), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи нахо-дится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t) или d(t).

Между переходной g(t) и импульсной h(t) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций вели-чины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t :

т. е. единичная импульсная функция рав-на производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение сохраня-ется и для импульсных и переходных реак-ций цепи

т. е. импульсная характеристика является производной от переход-ной характеристики цепи.

Уравнение (8.2) справедливо для случая, когда g(0) = 0 (нуле-вые начальны е условия для цепи). Если же g(0) ? 0, то предста-вив g(t) в виде g(t) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:

Для нахождения переходных и им-пуль-сных характеристик цепи можно использо-вать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода сос-то-ит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t) или импульсной d(t) функ-ции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g(t), а импульсную характеристику h(t) находить с помощью уравнений связи (8.2), (8.3) или операторным мето-дом.

При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложе-ния используется импульсная характеристика цепи h(t). Для по-лучения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f1(t) с помощью системы единичных импульсов длительности dt, амплитуды f1(t) и площади f1(t)dt (рис. 8.5). Выходная реакция цепи на каждый из единичных импульсов

Используя принцип наложения, нетрудно

получить суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов:

Интеграл (8.12) носит название интеграла наложения*. Между интегралами наложения и Дюамеля существует простая связь, определяемая связью (8.3) между импульсной h(t) и переход-ной g(t) характеристиками цепи. Подставив, например, значе-ние h(t) из (8.3) в формулу (8.12) с учетом фильтрующего свой-ства d-функции (7.23), получим интеграл Дюамеля в форме (8.11).

Пример. На вход RС-цепи подается скачок напряжения U1. Оп-ределить реакцию цепи на выходе с использованием интегралов наложения (8.12) и Дюамеля (8.11).

Импульсная характеристика данной цепи равна (см. табл. 8.1): hu(t) = = (1/RC)e-t/RC. Тогда, подставляя hu(t - t) = (1/RC)e-(t-t)/RC в формулу (8.12), по-лучаем:

Аналогично результат получаем при использовании переходной функции данной цепи и интеграла Дюамеля (8.11):

Если начало воздействия не совпадает с началом отсчета вре-мени, то интеграл (8.12) принимает вид

Интегралы наложения (8.12) и (8.13) представляют собой свертку входного сигнала с импульсной характеристикой цепи и широко применяются в теории электрических цепей и теории пере-дачи сигналов. Ее физический смысл заключается в том, что вход ной сигнал f1(t) как бы взвешивается с помощью функции h(t--t): чем медленнее убывает со временем h(t), тем большее влияние на выходной сигнал оказывает более удаленные от момента наблю-дения значение входного воздействия.

На рис. 8.6, а показан сигнал f1(t) и импульсная характери-стика h(t--t), являющаяся зеркальным отображением h(t), а на рис. 8.6, б приведена свертка сигнала f1(t) с функцией h(t--t) (за-штрихованная часть), численно равная реакции цепи в момент t.

Из рис. 8.6 видно, что отклик на выходе цепи не может быть короче суммарной длительности сигнала t1 и импульсной харак-теристики th. Таким образом, для того чтобы выходной сигнал не искажался импульсная характеристика цепи должна стремиться к d-функции.

Очевидно также, что в физически реализуемой цепи реакция не может возникнуть раньше воздействия. А это означает, что им-пульсная характеристика физически реализуемой цепи должна удовлетворять условию

Для физически реализуемой устойчивой цепи кроме того должно выполняться условие абсолютной интегрируемости импульсной характеристики:

Если входное воздействие имеет сложную форму или задается графически, то для вычисления реакции цепи вместо интеграла свертки (8.12) применяют графоаналитические способы.

2. Задача

Дано:

В, Ом, мкФ.

Получить формулу и построить график .

Решение:

а)

б)

в)

По законам коммутации:

3. Задача

Дано: схема автогенератора и график колебательной характеристики

мкГн; нФ; мкГн; кОм.

1. Рассчитать крутизну характеристики транзистора, при которой наступит самовозбуждение автогенератора.

2. Рассчитать частоту генерации

3. Рассчитать амплитуду стационарного напряжения на затворе-стоке транзистора для мА/В.

Решение:

- дифференциальная крутизна

ВАХ транзистора

- коэффициент затухания

Самовозбуждение происходит при крутизне, определяемой выражением

на частоте генерации

На частоте генерации