Типовые динамические звенья и их характеристики

Любую систему можно представить в виде ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:

(1)

Таким образом, передаточную функцию любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.

Как видно из разложения, можно выделить следующие звенья:

Усилительное (безынерционное).

Дифференцирующее.

Форсирующее звено 1-го порядка.

Форсирующее звено 2-го порядка.

Интегрирующее.

Апериодическое (инерционное).

Колебательное.

Запаздывающее.

При исследовании систем автоматического управления она представляется в виде совокупности элементов не по их функциональному назначению или физической природе, а по их динамическим свойствам. Для построения систем управления необходимо знание характеристик типовых звеньев. Основными характеристиками звеньев являются дифференциальное уравнение и передаточная функция.

Рассмотрим основные звенья и их характеристики.

Усилительное звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:

(2)

или передаточной функцией:

(3)

При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:

а) б)

Рис. 1

Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

Рис. 2

Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .

Рис. 3

Примеры звена:

Усилители, например, постоянного тока (рис. 4а).

Потенциометр (рис. 4б).

а) б)

Рис. 4

3. Редуктор (рис. 5).

Рис. 5

Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:

(4)

или передаточной функцией:

(5)

где Т - постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k - коэффициент передачи.

При этом переходная функция апериодического звена (рис. 6а) и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:

Рис. 6

Частотные характеристики апериодического звена (рис. 7а-в) опреде-ляются соотношениями:

а) б) в)

Рис. 7

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле

При

Рис. 8

Это асимптотические логарифмические характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области больших и малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при изменении параметров системы (k и T) характеристики перемещаются параллельно самим себе.

Примеры звена:

1. Апериодическое звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 9).

Рис. 9

2. Звенья на RLC-цепях (рис. 10).

Рис. 10

4. Механические демпферы (рис. 11).

Рис. 11

Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:

(6)

или передаточной функцией:

(7)

При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 12а) и его функция веса (рис. 12б) соответственно имеют вид:

Рис. 12

Частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 13) определяются соотношениями:

Рис. 13

Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 14) определяются по формуле:

Рис. 14

Пример звена. Интегрирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 15).

Рис. 15

Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:

(8)

или передаточной функцией:

(9)

При этом переходная функция звена (рис. 16а) и его функция веса (рис. 16б) соответственно имеют вид:

Рис. 16

Частотные характеристики звена (рис. 17а-в) определяются соотношениями:

а) б) б)

Рис. 17

Идеальное дифференцирующее звено является физически не реализуемым. В реальных звеньях такой вид характеристики могут иметь только в ограниченном диапазоне частот.

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 18) определяются по формуле:

Рис. 18

Примеры звена:

1. Дифференцирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 19).

Рис. 19

2. Тахогенератор (рис. 20).

Рис. 20

Колебательное звено. Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:

(10)

или передаточной функцией:

(11)

где - демпфирование (0 1).

Если = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено - без потерь), если = 1, то имеем два апериодических звена.

При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 21) соответственно имеют вид:

(12)

а) б)

Рис. 21

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид (рис. 22а) и определяется соотношением

Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) для различных значений имеет вид (рис. 22б) и определяется соотношением

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет вид (рис. 22в) и определяется соотношением

Частотные характеристики колебательного звена имеют вид

а) б) в)

Рис. 22

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 23) определяются по формуле:

При k = 1

Рис. 23

Примеры звена. Колебательное звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 24).

Рис. 24

Колебательное звено на RLC-цепи (рис. 25).

Рис. 25

В приведенной схеме:

С - накапливает энергию электрического поля;

L - накапливает энергию электромагнитного поля;

R - на сопротивлении происходит потеря энергии.

Запишем передаточную функцию цепи:

- затухание (демпфирование).

4. Механические демпферы (рис. 26).

Рис. 26

Форсирующее звено. Форсирующим называют звено, которое описывается уравнением:

(13)

или передаточной функцией

(14)

где k - коэффициент передачи звена.

При этом переходная функция звена и его функция веса соответственно определяются соотношениями:

Частотные характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями:

а) б) в)

Рис. 27

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 28) определяются по формуле:

Рис. 28

Форсирующее звено 2-го порядка. Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:

(15)

Логарифмические частотные характеристики звена имеют вид:

Запаздывающее звено. Дифференциальное уравнение и передаточная функция запаздывающего звена имеют вид:

(16)

(17)

где - время запаздывания.

В соответствии с теоремой запаздывания . При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 30а, б) соответственно определяются соотношениями:

Рис. 30

Частотные характеристики звена (рис. 31а-в) определяются соотношениями:

а) б) в)

Рис. 31

Устойчивые и неустойчивые звенья. В устойчивых звеньях переходный процесс является сходящимся, а в неустойчивых он расходится. Устойчивые звенья называются минимально - фазовыми. Эти звенья не содержат нулей и полюсов в правой полуплоскости корней. Неустойчивые звенья называются не минимально - фазовыми. Т. е. изменению амплитуды на 20 дБ/дек соответствует изменение фазы на /2, а 40 дБ/дек - на .

Пример 1. Построить частотные характеристики для звеньев

Для заданных передаточных функций звеньев, характеристики имеют вид (рис. 32):

Рис. 32

Идеальные и реальные звенья. Идеальные звенья физически не реализуемы, реальные звенья содержат инерционности.

реальное интегрирующее звено;

реальное дифференцирующее звено;

реальное форсирующее звено.

АФХ этих звеньев имеют вид (рис. 33а-в):

а) б) в)

Рассмотрим характеристики соединений звеньев и порядок построения логарифмических частотных характеристик соединений звеньев.

1. Определяем, из каких элементарных звеньев состоит соединение.

2. Определяем сопрягающие частоты отдельных звеньев и откладываем их по оси частот в порядке возрастания.

3. Определяем наклон низкочастотной асимптоты, используя формулу [(-) 20] дБ/дек (где - количество дифференцирующих, а - интегрирующих звеньев) и проводим ее через соответствующую сопряженную частоту.

4. Последовательно сопрягая звенья, строим характеристику соединения.

Пример 2. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения:

Пример 3. Построить логарифмическую частотную характеристику соединения

Пример 4. Построить АФХ соединения звеньев, передаточная функция которого имеет вид

Решение: Выполнив подстановку p = j и умножив на комплексно сопряженное выражение, получим

Строим характеристику рис. 36.

Рис. 36

Литература

Автоматизированное проектирование систем автоматического управления. / Под ред. В.В. Солодовникова. - М.: Машиностроение, 1990. -332 с.

Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ. - К.: Тэхника, 1989. -182 с.

В.А. Бесекерский, Е.П. Попов «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г. - 752 с.

Гринченко А.Г. Теория автоматического управления: Учебн. пособие. - Харьков: ХГПУ, 2000. -272 с.

Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского - М.: Наука, 1987. - 712 с.